应负妥善保管遗嘱的义务，如果遗嘱丢失的应负赔偿义务 。
【法律依据】
《合同法》第369条，保管人应当妥善保管保管物 。当事人可以约定保管场所或者方法 。除紧急情况或者为了维护寄存人利益的以外，不得擅自改变保管场所或者方法 。
【遗嘱保管人应尽义务有哪些】《合同法》第374条，保管期间，因保管人保管不善造成保管物毁损、灭失的，保管人应当承担损害赔偿责任 ， 但保管是无偿的，保管人证明自己没有重大过失的，不承担损害赔偿责任 。

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